为了完整地回答您的问题，让我们从头开始解释变分的概念。在数学中，变分是一个函数对其自变量的变化作出的反应。当我们考虑能量泛函 \(J(u)\) 对函数 \(u\) 以及 \(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\) 的变分时，我们可以通过以下步骤进行推导：

1. 对 \(u\) 的变分：
   - 我们将 \(u\) 替换为 \(u + \epsilon v\)，其中 \(\epsilon\) 是一个小的实数，\(v\) 是另一个函数。
   - 然后我们计算 \(J(u+\epsilon v)\) 并展开成泰勒级数，保留一阶项。
   - 最后，我们令 \(\epsilon = 0\) 以消除 \(u\) 的一阶变分项。

2. 对 \(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\) 的变分：
   - 同样地，我们将 \(\frac{\partial u}{\partial x}\) 替换为 \(\frac{\partial (u + \epsilon v)}{\partial x}\)，并按照相似的步骤进行计算和化简。

这些步骤将会在推导中引入变分运算符 \(\delta\)，用来表示对函数的变分。最终，这些操作将使我们能够得到关于 \(u\) 和它的偏导数的变分表达式。

希望这个描述能够帮助您更好地理解变分的过程。如果您需要更具体的数学方程式或者其他相关问题，请随时告诉我。